마술사와 수학자가 카지노 허점을 밝혀낸 방법

도박 치트 갱단이 집을 이길 방법을 고민했을 때 무심코 섞인 데크의 허점을 강조 표시했습니다. 그 방법을 밝히는 데는 마술사에서 수학자가 필요했습니다. 업계 관계자들은 불안해했다. 그들의 회사는 카지노용 정밀 카드 섞는 기계를 제조했습니다. 수천 개의 기계식 셔플이 라스베가스와 전 세계에서 작동 중이었습니다. 임대료는 매년 수백만 달러를 가져왔고 회사는 신증권 거래소에 상장되었습니다.

그러나 경영진은 최근에 그들의 기계 중 하나가 사기꾼 갱단에 의해 해킹 되었다는 사실을 발견했습니다 . 갱단은 유리창을 통해 카드 셔플의 작동을 녹화하기 위해 숨겨진 비디오 카메라를 사용했습니다. 카지노 주차장 외부의 공범에게 전송된 이미지는 슬로우 모션으로 재생되어 데크에 있는 카드의 순서를 파악한 다음 내부의 도박꾼에게 다시 전달되었습니다. 갱단이 마침내 잡힐 때까지 카지노는 수백만 달러를 잃었습니다.

경영진은 다시는 해킹을 당하지 않기로 했습니다. 그들은 이번에는 불투명한 상자에 동봉된 정교한 새 섞기 기계의 프로토타입을 개발했습니다. 엔지니어들은 기계가 장치를 한 번만 통과하면 카드 데크를 충분히 무작위화하여 카드 카운터와 비뚤어진 딜러를 제치고 손 사이의 시간을 단축할 것이라고 확신했습니다. 그러나 그들은 기계가 데크를 적절하게 섞는지 확인해야 했습니다. 그들은 Persi Diaconis가 필요했습니다.

스탠포드 대학의 마술사 출신 수학자 디아코니스는 카드 셔플링의 수학 분야에서 세계 최고의 전문가로 인정받고 있습니다. 이 주제에 관한 놀랍도록 방대한 학술 문헌을 통해 그의 이름은 마술사의 간교한 속임수에서 스페이드 에이스처럼 계속해서 등장합니다.

그래서 회사 경영진이 그에게 연락하여 기계의 내부 작동 방식(문자 그대로 "블랙 박스")을 보여주겠다고 제안했을 때 그는 그의 행운을 믿을 수 없었습니다.

공동 작업자인 Stanford의 통계학자인 Susan Holmes와 함께 Diaconis는 회사의 라스베이거스 쇼룸으로 이동하여 새 기계의 프로토타입을 조사했습니다. 그 쌍은 곧 결함을 발견했습니다. 기계적 셔플 동작이 무작위로 보이지만 수학자들은 결과 데크에 여전히 상승 및 하강 시퀀스가 ​​있다는 것을 알아차렸습니다. 이는 카드 순서를 예측할 수 있음을 의미합니다.

이를 회사 경영진에게 증명하기 위해 Diaconis와 Holmes는 다음에 어떤 카드가 뒤집힐지 추측하는 간단한 기술을 고안했습니다. 첫 번째 카드를 뒤집은 하트가 5개라면, 예를 들어 순서가 상승한다는 가정 하에 다음 카드가 하트 6개라고 추측했습니다. 예를 들어, 다음 카드가 실제로 더 낮은 경우(예: 하트 4개) 이는 떨어지는 순서에 있다는 것을 의미하고 다음 추측은 하트 3개입니다.

사기꾼은 카드 셔플 머신을 자세히 관찰하여 셔플 덱의 카드 순서를 예측할 수 있었습니다(제공: Getty Images)

이 간단한 전략으로 수학자들은 덱당 9~10장의 카드(전체의 1/5)를 정확하게 추측하여 유능한 카드 카운터의 이점을 두 배 또는 세 배로 늘릴 수 있었습니다.

카드 카운팅은 플레이어가 다음 카드가 승자 또는 패자일 확률을 예측하는 약간의 이점을 갖기 위해 처리된 카드를 추적하는 관행입니다. 이러한 관행은 수십 년 동안 존재해 왔지만(Bridge와 같은 일부 게임에서는 합법적인 게임 플레이의 일부임) 블랙잭과 같은 카지노 게임에서는 엄격하게 단속됩니다. 카드 카운터를 지원하기 위해 기술을 사용하는 것은 불법입니다.

경영진은 겁에 질렸다. 그들은 Diaconis에 보낸 편지에서 "우리는 당신의 결론에 만족하지 않습니다. 그러나 우리는 그것을 믿습니다. 그것이 당신을 고용한 이유입니다."라고 말했습니다. 회사는 조용히 프로토타입을 보류하고 다른 기계로 전환했습니다. Diaconis는 질서와 무작위성의 경계에 있는 문제를 연구하는 데 평생을 바쳤습니다. 스크램블된 메시지를 해독 하든, DNA 가닥을 재조립 하든, 웹 검색 엔진을 최적화 하든 , 그는 이러한 문제를 카드 셔플링에 대한 질문으로 바꾸는 재주를 가지고 있습니다.

카드에 대한 그의 관심은 1958년 우연한 만남에서 시작되었습니다. 13세 때 Diaconis는 뉴욕 타임스퀘어에 있는 Tannen's Magic Emporium에서 " 완벽한 셔플 "을 마스터한 부드러운 말투의 스코틀랜드 컴퓨터 과학자이자 마술사인 Alex Elmsley를 만났습니다. 때때로 "파로 셔플" 또는 간단히 "기술"이라고 불리는 완벽한 셔플은 데크를 각각 정확히 26장의 카드로 된 두 스택으로 분할하고 지퍼처럼 완벽하게 엮어 각 손에서 한 장의 카드를 교대로 끼워 넣는 것을 포함합니다. 10초 이내에 정확하게 할 수 있는 사람은 거의 없습니다. 디아코니스는 하나입니다.

완벽한 셔플은 카드를 무작위로 섞는 환상을 주기 때문에 수세기 동안 도박꾼과 마술사에 의해 사용되었습니다. 그러나 그것은 무작위와는 거리가 멀다. 실제로 동일한 순서의 완벽한 셔플을 연속으로 8번 수행하면 데크가 마법처럼 원래 순서로 복원됩니다.

Diaconis는 새로운 카드 한 벌을 가져와 한쪽 면에 두꺼운 검은색 마커로 "RANDOM"이라는 단어를 써 완벽한 셔플을 보여주기를 좋아합니다. 그가 카드를 능숙하게 다루면서 글자가 뒤섞이고 이따금씩 유령 같은 형태로 나타나며 마치 오래된 TV의 불완전하게 조정된 이미지처럼 보입니다. 그런 다음, 그가 여덟 번째이자 마지막 셔플을 수행한 후, 그 단어는 덱 측면에서 재구체화됩니다. 카드는 스페이드 에이스에서 하트 에이스까지 정확한 원래 순서대로 있습니다.

Tannen의 Magic Emporium으로 돌아가서 Elmsley는 트릭 뒤에 숨겨진 미묘한 수학을 설명했습니다. 1에서 52까지의 새로운 카드 데크의 번호를 매긴다고 상상해 보십시오. 여기서 1은 데크의 맨 위에 있고 52는 맨 아래에 있는 카드입니다. 완벽한 셔플을 수행하면 카드가 덱의 새 위치로 이동합니다. 예를 들어, 원래 위치 2에 있던 카드는 위치 3으로 이동하고, 위치 3에 있는 카드는 위치 5로 이동하고, 위치 27에 있던 카드는 다시 위치 2로 돌아오는 식입니다.

덱을 일곱 번 섞으면 최소한 대부분의 통계 테스트에서 증명할 수 있는 한 완전히 혼합됩니다.

완벽한 셔플은 별도의 뮤지컬 의자 게임과 같은 일련의 전체 주기로 생각할 수 있습니다. 카드를 올바른 순서로 되돌리는 데 필요한 섞기 횟수는 모든 주기 길이의 최소 공배수 입니다. 이 경우에는 8번 섞습니다(8은 1, 2, 8의 최소 배수).

이듬해 14세의 디아코니스는 유명한 재주꾼의 지도 아래 마법을 배우기 위해 집을 나섰습니다. 그들은 길에서 10년을 보냈고 가능한 모든 스타일의 셔플을 배우고 비뚤어진 딜러를 추적하여 기술을 배웠습니다.

그러나 Elmsley와의 대화는 Diaconis의 호기심을 불러일으켰습니다. 수학과 마술 사이에는 어떤 다른 연결이 있습니까?

Diaconis는 자신의 묘비에 "7개의 셔플이면 충분합니다"라고 새겨져 있다고 말합니다. 그는 자신의 가장 유명한 깨달음을 언급하고 있습니다. 카드 한 벌을 충분히 무작위화하려면 7번의 "리플 섞기"가 필요합니다. 리플 셔플은 카지노와 진지한 카드 플레이어가 사용하는 친숙한 기술로, 데크를 두 개로 자른 다음 만족스러운 지퍼 로 함께 엄지손가락을 치켜세우며 종종 카드를 모아서 깔끔한 더미로 만드는 브리지 마감으로 끝납니다.

리플 셔플은 완벽한 셔플의 제멋대로인 쌍둥이입니다. 데크의 두 반쪽을 완벽하게 끼워 넣는 대신, 반쪽은 무질서한 덩어리로 함께 혼합되어 각 셔플과 함께 카드를 점진적으로 혼합하는 임의성의 씨앗을 심습니다.

한두 번의 리플 셔플 후에 일부 카드는 원래 순서대로 유지됩니다. 대부분의 카지노가 일반적으로 사용하는 것보다 훨씬 많은 4~5회의 셔플 후에도 덱은 순서의 흔적을 유지합니다. 그러나 덱을 일곱 번 섞으면 최소한 대부분의 통계 테스트에서 증명할 수 있는 한 완전히 혼합됩니다. 그 지점을 넘어서면 더 이상 혼합하지 않을 것입니다. "가능한 한 무작위에 가깝습니다."라고 Diaconis는 말합니다.

각 카드가 교대로 짜여진 완벽한 셔플은 마스터하는 데 몇 년이 걸립니다(Credit: Getty Images)

리플 셔플을 엄격하게 연구하기 위해 Diaconis는 Markov 체인이라는 강력한 수학적 도구를 사용했습니다.

"마르코프 연쇄는 결과가 현재 상태에만 의존하고 그 상태에 도달한 방법에 의존하지 않는 반복되는 동작"이라고 서던 캘리포니아 대학의 수학자 Sami Hayes Assaf는 설명합니다. 이것은 Markov 체인이 이전에 있었던 것에 대한 "기억"이 없음을 의미합니다. Assaf는 이것은 카드를 섞기에 아주 좋은 모델이라고 말합니다. 일곱 번째 셔플의 결과는 덱이 그 전에 다섯 번 섞인 방법이 아니라 여섯 번째 셔플 이후의 카드 순서에만 의존합니다.

Markov 체인은 통계 및 컴퓨터 과학에서 카드 셔플, 진동 원자 또는 주가 변동과 같은 임의의 이벤트 시퀀스를 처리하는 데 널리 사용됩니다. 각각의 경우에 미래의 "상태"(덱의 순서, 원자의 에너지, 주식 가치)는 이전에 일어난 일이 아니라 지금 일어나고 있는 일에만 의존합니다.

단순함에도 불구하고 Markov 체인은 많은 반복 후에 특정 이벤트의 가능성에 대한 예측을 만드는 데 사용할 수 있습니다. 검색 엔진 결과에서 웹사이트 순위를 매기는 Google의 PageRank 알고리즘은 수십억 명의 인터넷 사용자가 웹 링크를 무작위로 클릭하는 행동을 모델링하는 Markov 체인을 기반으로 합니다.

Diaconis는 뉴욕 컬럼비아 대학의 수학자 Dave Bayer와 협력하여 리플 셔플을 설명하는 Markov 체인이 7번의 셔플 후에 순서에서 무작위로 급격히 전환된다는 것을 보여주었습니다. 수학자에게 컷오프 현상으로 알려진 이 동작은 혼합과 관련된 문제의 일반적인 특징입니다. 크림을 커피에 섞는다고 생각해 보세요. 휘저으면 블랙 커피에 크림이 가느다란 흰색 줄무늬를 형성한 후 돌이킬 수 없이 갑자기 섞이게 됩니다.

잘 섞인 카드 덱의 어느 쪽이 켜져 있는지 알면(잘 섞였는지 또는 원래 순서에 대한 기억이 아직 남아 있는지 여부) 갬블러에게 하우스에 대한 뚜렷한 이점이 있습니다.

1990년대에 Harvard와 MIT의 학생 그룹은 카드 카운팅 및 기타 방법을 사용하여 데크가 제대로 섞였는지 감지함으로써 미국 전역의 카지노에서 블랙잭을 할 확률을 이길 수 있었습니다. 카지노는 더 정교한 카드 섞는 기계를 도입하고 완전히 플레이되기 전에 데크를 섞고 플레이어에 대한 감시를 강화하여 대응했습니다. 그러나 카지노에서 카드 더미를 기계로 일곱 번 섞는 것을 보는 것은 여전히 ​​드뭅니다.

카지노 경영진은 Diaconis와 그의 연구에 그다지 주의를 기울이지 않았을지 모르지만 그는 무작위성을 연구하는 수학자, 통계학자 및 컴퓨터 과학자에게 계속해서 막대한 영향을 미치고 있습니다. 2020년 1월 디아코니스의 75번째 생일을 기념하기 위해 스탠포드에서 열린 컨퍼런스에서 전 세계의 동료들이 유전 분류의 수학, 시리얼이 흔들리는 상자에 어떻게 들어가는지, 그리고 카드 셔플링에 대해 이야기했습니다.

Diaconis는 도박에 별로 관심이 없습니다. 그는 생계를 꾸릴 수 있는 더 좋고 흥미로운 방법 이 있다고 말합니다 . 그러나 그는 두뇌를 사용하여 우위를 점하려는 플레이어를 원망하지 않습니다.

"생각하는 것은 속이는 것이 아닙니다."라고 그는 말합니다. "생각하는 것은 생각하는 것이다."