상상하기엔 너무 큰 숫자

수조를 넘어서면 매우 놀라운 숫자가 있다고 Richard Fisher는 말합니다. 그들 중 일부는 너무 커서 마음에 맞지 않거나 알려진 우주에 맞지 않습니다.  당신이 생각할 수 있는 가장 큰 숫자는 무엇입니까? 어렸을 때 학교 운동장에서 서로에게 이런 질문을 하곤 했다. 누군가는 "a billion billion billion"과 같이 절망적으로 순진한 말을 할 것이지만, 수조, squillions 또는 kajillions에 대해 알고 있는 동료에 의해 능가될 뿐입니다(그 중 하나만 진짜인지는 중요하지 않습니다).

결국 누군가는 "무한대!"라는 정답을 알고 있다는 사실을 기억할 것입니다. 그러나 잘난 척은 오래 가지 못했습니다. 수학적 마이크 드롭을 사용하는 또 다른 아이는 곧 "무한… 더하기 1"로 이길 수 있다고 지적했습니다.

그러나 매우 큰 숫자를 상상하고 이해하려고 노력하는 것은 단순한 놀이터 게임 그 이상입니다. 수세기 동안 수학자들이 생각해 온 작업입니다. 그들은 너무 커서 어떤 인간도 그것들을 적어두기는커녕 완전히 마음속에 성공적으로 가져온 적이 없는 숫자의 존재를 제안했습니다. 그리고 무한대에 관해서는 그것들 중 하나 이상이 있다는 것이 밝혀졌습니다. 반직관적으로 일부 무한대는 다른 무한대보다 큽니다.

10살의 나에게 잃어버린 분명한 점부터 시작하자. 자연수는 무한하기 때문에 가장 큰 수라고 기술할 수 있는 특정한 수는 없습니다. 당신은 놀이터 게임에서 이길 수 없습니다.

그러나 그렇다고 해서 모든 큰 숫자가 생각되고, 표현되고, 기록되고… 심지어 컴퓨터로 표현되었다는 의미는 아닙니다.

먼저 일상 생활에서 사용되는 것보다 직접적으로 숫자의 사다리를 올라갑시다. 뉴스 헤드라인에서 가장 큰 수치( 예: 국가 부채) 는 수조 단위로 표현되는 경향이 있습니다. 그러나 이후에 나오는 더 큰 숫자의 계층 구조가 있으며 그 이름은 거의 언급되지 않습니다. 1000조, 500경, 600조 등으로 시작합니다. 1000조(미국판)는 15개의 0, 1000조는 18개, 1600조는 21개입니다.

일부 숫자는 너무 커서 마음으로 생각할 수 없습니다(Credit: Emmanuel Lafont)

이 숫자는 엄청납니다. 인체에는 약 30조 개의 세포가 있습니다 . 따라서 한 방에 1,000조 개의 세포가 있으면 34명이 필요합니다. 그리고 지구에 얼마나 많은 곤충이 있는지 (약 10경) 에 대해 이야기하고 싶을 때만 10경이 실제로 작용합니다 . 한편 16분의 1이라는 숫자는 너무 커서 180,000광년 높이의 16분의 1의 탑은 은하수의 지름보다 큽니다.

미국 버전에서는 303개의 0이 있는 센티리온까지 계속 올라갈 수 있습니다(그리고 그 이상으로 듀오센틸리온, 트레센틸리온을 사용하지만 덜 표준화됨). 현실적으로 물리학자와 수학자만이 100억 달러를 많이 사용할 수 있으며, 그럴 경우에도 끈 이론과 같은 전문 분야에서만 사용할 수 있습니다. Elon Musk가 100만장자가 되려면 다음 1.7 x 10^282년(283자리 숫자) 동안 1밀리초마다 현재 재산을 벌어야 합니다. 

 

구골과 구골 신경총

미화 100억만큼 크지는 않지만 아마도 더 잘 알려진 또 다른 큰 숫자는 구골(googol)입니다. 이것은 1 뒤에 0이 100개 있는 10^100이며 잘 알려진 검색 엔진에 영감을 주기도 했습니다. Google의 창립자들은 온라인에서 찾을 수 있는 방대한 양의 정보에 고개를 끄덕였기 때문에 그것에 끌렸습니다. 그러나 지금까지 인터넷은 그다지 크지 않았습니다. 현재까지 Internet Archive의 Wayback Machine은 1990년대 이후 8,010억 개의 웹 페이지만 색인화했습니다.

구골을 구골 플렉스( 구글의 캘리포니아 본사 이름)로 만들어 슈퍼차지하는 것이 가능합니다  . 이 숫자는 10의 구골 제곱 또는 10의 10의 100승입니다.

이것이 얼마나 큰지 알아보기 위해 저는 미국 노트르담 대학의 수학자 Joel David Hamkins와 이야기를 나눴습니다. 그는 무한히 더 많은 수와 무한대에 대한 뉴스레터를 작성 했습니다 .

구골 플렉스는 1 뒤에 0이 오는 구골 수라고 그는 설명합니다. 그거 쓰는데 얼마나 걸리나요? 글쎄요, 어렸을 때 연필을 처음 집어 들었을 때 시작했더라도 평생 동안 할 수 없었을 것입니다.

우리가 말하는 숫자의 수를 파악하기 위해 Hamkins는 다음과 같은 사고 실험을 제안합니다.

"내가 당신에게 이 인쇄 장치를 주었다고 가정해 봅시다. 숫자를 인쇄하는 초고속 프린터입니다. 예를 들어 이 장치가 매초 백만 자리를 인쇄할 수 있다고 가정해 봅시다."라고 그는 말합니다. 이제 그것이 138억년 전, 즉 10^18초 전 우주의 시작에 인쇄를 시작했다고 상상해보세요. "매초 백만 자리를 인쇄한다고 해도 태초부터, 빅뱅부터 이 일을 놔두면 가깝지도 않을 것이고 구골 플렉스의 가장 작은 부분에 불과할 것 입니다 . "

반직관적으로.  일부 무한대는 다른 무한대보다 큽니다(Credit: Emmanuel Lafont)

Hamkins는 또한 흥미로운 점을 지적합니다. 더 간단한 표기법이나 단일 단어로 축소될 수 없는 구골 플렉스보다 작은 많은 숫자가 있으므로 "근본적으로 우리의 이해력을 넘어선" 것입니다. 그들은 상상하거나 표현한 적이 없습니다.

"그 숫자가 무엇인지 말할 수 있는 유일한 방법은 그 자릿수를 말하는 것입니다. 하지만 태초부터 초당 백만 자릿수를 인쇄하더라도 그 숫자를 말할 수 없었을 것입니다."라고 그는 말합니다. "그래서 이것은 흥미로운 상황입니다. 엄청난 숫자에 대한 간단한 설명이 있지만 그 사이에 있는 많은 숫자는 설명하기가 매우 어렵다는 것을 의미하기 때문입니다. 설명의 복잡성 측면에서 단순한 이정표 숫자가 있지만 이러한 숫자가 있습니다. 그들 사이에는 복잡한 바다가 있습니다."

1초에 100만 자리를 출력해도 태초부터 그 숫자는 말할 수 없었을 것이다.

그러나 수학자들은 구골 플렉스보다 더 큰 숫자를 기술했습니다. 가장 유명한 것은 그레이엄의 수입니다.

1970년대에 고안된 수학자 Ronald Graham은 그것을 수학적 증명의 일부로 사용했습니다. 그는 혼돈에서 질서를 찾는 방법을 다루는 Ramsey 이론이라는 수학 분야의 문제를 해결하기 위해 그것을 제안했습니다.

그 배후에 있는 수학을 이해하는 것은 약간 복잡하지만 알아야 할 가장 중요한 것은 그것을 생성하는 데 진정으로 두뇌를 산산이 부수는 정도까지의 지수 가 포함된다는 것입니다 . Graham 자신이 수학 YouTube 채널 Numberphile의 이 동영상에서 그 이유를 설명합니다 .

아, 그리고 그것을 종이에 쓰려고 해도 보이는 우주에 그것을 담을 충분한 공간이 없다는 것도 알아야 합니다. 그런데 무한대는 어떻습니까? 보통 사람에게 무한대는 간단한 개념으로 보입니다. 숫자가 아니라 영원히 계속되는 것입니다. 그러나 인간의 마음이 그것을 진정으로 이해할 수 있는지 여부는 또 다른 질문입니다.

1700년대에 작가이자 철학자인 에드먼드 버크(Edmund Burke)는 "무한은 숭고함의 가장 진정한 효과이자 가장 진정한 시험인 그런 종류의 유쾌한 공포로 마음을 채우는 경향이 있다"고 썼습니다 . Burke에게 그 개념은 놀라움과 두려움이 뒤섞인 감정을 불러일으켰습니다. 기쁨과 고통, 동시에. 그리고 사람들이 상상을 제외하고는 세상에서 그것을 접하는 경우는 거의 없었으며 그때조차도 그것을 진정으로 알 수 없었습니다.

그러나 다음 세기에 논리학자 게오르그 칸토어는 무한의 개념을 받아들여 훨씬 더 혼란스럽게 만들었습니다. 그는 어떤 무한대는 다른 것보다 더 크다는 것을 보여주었다.

어때? 이유를 이해하려면 숫자를 '세트'로 간주하십시오. 한 집합의 모든 자연수(1, 2, 3, 4 등)와 다른 집합의 모든 짝수를 비교한다면 원칙적으로 모든 자연수는 대응하는 짝수와 쌍을 이룰 수 있습니다. 이 페어링은 두 세트(둘 다 무한대)가 동일한 크기임을 시사합니다. 그것들은 '셀수 없이 무한하다'.

그러나 Cantor 는 1, 2, 3, 4(0.123, 0.1234, 0.12345 등) 사이의 소수 자릿수를 가진 숫자의 연속체인 자연수와 '실수'로 동일한 작업을 수행할 수 없음을 보여주었습니다.

각 세트 내에서 숫자를 짝지으려고 하면 항상 자연수와 일치하지 않는 실수를 찾을 수 있습니다. 실수는 셀 수 없이 무한합니다. 따라서 여러 크기의 무한대가 있어야 합니다.

이것은 그림은 고사하고 받아들이기 어렵지만 수학적 거대함과 씨름하려고 할 때 마음에 일어나는 일입니다. 그러한 엄청난 숫자는 10살짜리 내가 상상했던 것보다 이해하기 훨씬 더 어렵습니다.